孤子系统的量子化与 Langlands 对偶

我们在与仿射 Kac--Moody 代数相关的 Gaudin 模型的一般框架下，考虑经典孤子可积系统（如 KdV 层级）的量子化问题。我们对与有限维单李代数相关的 Gaudin 模型的经验表明，在与仿射代数相关的模型中，相互对易的量子哈密顿量的共同本征值应由与 Langlands 对偶仿射代数相关的仿射 oper 来编码。这引导我们对孤子系统的量子哈密顿量谱做出一些具体预测。特别是，对于 KdV 系统，相应的仿射 oper 可以表示为带谱参数的薛定谔算子，我们在这种情况下的预测与 Bazhanov、Lukyanov 和 Zamolodchikov 最近所作的预测一致。这表明，这一以及最近发现的量子运动积分与微分算子之间对应关系的其他例子，都可以被视为 Langlands 对偶的特例。