与椭圆曲线同源判据相关的定量上界

对于定义在数域 $K$ 上且无复乘的椭圆曲线 $E_1$ 和 $E_2$，我们考虑函数 ${\mathcal{F}}_{E_1, E_2}(x)$，该函数计数 $K$ 的整数环中范数至多为 $x$ 且对 $E_1$ 和 $E_2$ 具有良好约化的非零素理想 $\mathfrak{p}$，并要求 Frobenius 域 $\mathbb{Q}(\pi_{\mathfrak{p}}(E_1))$ 和 $\mathbb{Q}(\pi_{\mathfrak{p}}(E_2))$ 相等。受 Kulkarni、Patankar 和 Rajan 的同源判据（即 $E_1$ 和 $E_2$ 非潜在同源当且仅当 ${\mathcal{F}}_{E_1, E_2}(x) = \operatorname{o} \left(\frac{x}{\log x}\right)$）的启发，我们研究了 ${\mathcal{F}}_{E_1, E_2}(x)$ 随 $x$ 的增长情况。我们证明，如果 $E_1$ 和 $E_2$ 非潜在同源，则存在正常数 $\kappa(E_1, E_2, K)$、$\kappa'(E_1, E_2, K)$ 和 $\kappa''(E_1, E_2, K)$ 使得以下界成立：(i) ${\mathcal{F}}_{E_1, E_2}(x) < \kappa(E_1, E_2, K) \frac{ x (\log\log x)^{\frac{1}{9}}}{ (\log x)^{\frac{19}{18}}}$；(ii) 在 Dedekind zeta 函数的广义 Riemann 假设 (GRH) 下，${\mathcal{F}}_{E_1, E_2}(x) < \kappa'(E_1, E_2, K) \frac{ x^{\frac{6}{7}}}{ (\log x)^{\frac{5}{7}}}$；(iii) 在 GRH、数域扩张的 Artin $L$ 函数的 Artin 全纯猜想以及数域扩张的 Artin $L$ 函数零点的对相关猜想下，${\mathcal{F}}_{E_1, E_2}(x) < \kappa''(E_1, E_2, K) x^{\frac{2}{3}} (\log x)^{\frac{1}{3}}$。