在范畴上量子化

我们回顾了寻找一个通用框架的问题,在此框架内可以构造空间或时空的非标准模型的量子理论。出发点是观察到此类实体通常可被视为范畴中的对象,其箭头为保结构映射。这促使我们研究一个一般问题:对一个“构型空间”(或历史理论类比)是范畴 $\Q$ 中对象集 $\Ob\Q$ 的系统进行量子化。我们发展了一种方案,基于构造一个群的类似物,该群用于构型空间为流形 $Q\simeq G/H$(其中 $G$ 和 $H$ 为李群)的系统的正则量子化。特别地,我们选取 $\Q$ 上的“箭头场”的幺半群作为 $G$ 的类似物。在物理上,这意味着范畴中两对象间的箭头被视为动量的类似物。在找到“范畴量子化幺半群”后,我们展示了如何使用 $\Ob\Q$ 上的 Hilbert 空间丛(或更确切地说,预层)来构造合适的表示。对于有限集范畴的例子,我们构造了此种类型的显式表示结构。