范畴化代数与量子力学

对数学对象的组合解释的兴味源于它们所提供的具象模型的便利。为一个看似晦涩的恒等式找到双射证明，可以揭示其未曾料到的意义。为某个数学对象找到组合模型是称为“范畴化”这一过程的一个特例。例子包括将 N 解释为具有积与余积的有限集范畴的 Burnside rig，以及将 N[x] 解释为组合物种范畴。这通过 Joyal 的“物种”、一种称为“stuff types”的新推广以及它们之间的算子，对量子力学特别是量子谐振子有有趣的应用，这些算子可表示为该谐振子的初等 Feynman 图。在量子力学中，我们希望在复数上的代数中表示态，也希望我们的 Feynman 图携带比这些“stuff 算子”所能承载的更多结构，而这两者被证明密切相关。我们将展示如何为量子谐振子构造一个组合模型，其中相位群 U(1) 扮演特殊角色。我们描述了任意幺半群 M 的“M-Stuff Types”的一般概念，并看到 M=U(1) 的情形给出了组合设定中时间演化的解释，以及谐振子的其他量子力学特征。