离散动力系统中非可逆性的量化

给定有限集 $X$ 与函数 $f:X\to X$，我们定义 $f$ 的非可逆度数为 $\displaystyle\text{deg}(f)=\frac{1}{|X|}\sum_{x\in X}|f^{-1}(f(x))|$。这是衡量函数 $f$ 距离双射有多远的一个自然测度。我们计算了一些特定离散动力系统的非可逆度数，包括 Carolina 单人纸牌映射、作用于置换上的冒泡排序映射的迭代、作用于多重集置换上的冒泡排序，以及一个我们称为“nibble sort”的映射。我们还获得了 West 栈排序映射与 Bulgarian 单人纸牌映射的非可逆度数的估计。随后我们将注意力转向任意函数及其迭代。为了比较任意函数 $f:X\to X$ 与其迭代 $f^k$ 的非可逆度数，我们证明了对每个实数 $\gamma\geq 2-1/2^{k-1}$，有 $$\max_{\substack{f:X\to X\\ |X|=n}}\frac{\text{deg}(f^k)}{\text{deg}(f)^\gamma}=\Theta(n^{1-1/2^{k-1}})$$。我们以若干猜想与开放问题作结。