一种新的离散变分法及其在统计物理中的应用

对于离散集上的离散函数 $f\left( x\right)$，有限差分可以是前向或后向的。然而，我们观察到若 $f\left( x\right)$ 是定义在离散集上的两个函数之和 $f\left( x\right) =f_{1}\left( x\right) +f_{2}\left( x\right)$，则 $\Delta f\left( x\right)$ 的一阶差分是含糊的，因为我们可能有 $\Delta ^{f}f_{1}\left( x\right) +\Delta ^{b}f_{2}\left( x\right)$，其中 $\Delta ^{f}$ 和 $\Delta ^{b}$ 分别表示前向和后向差分。因此，该函数 $f\left( x\right)$ 的一阶变分方程给出许多解，其中包含真解与伪解。我们提出一种恰当的离散变分法形式体系，通过检验二阶变分甄别出真解，并能够在无需粒子数无穷大的条件下给出玻尔兹曼、玻色与费米系统的精确分布形式。我们通过玻色分布的推导明确说明了我们形式体系的优势与特性。