有限粒子数最概然分布中的异步有限差分

对于离散集上的离散函数 $f\left( x\right)$，有限差分可以是前向的或后向的。若 $f\left( x\right)$ 是两个此类函数之和 $f\left( x\right) =f_{1}\left( x\right) +f_{2}\left( x\right)$，则 $\Delta f\left( x\right)$ 的一阶差分可归为四种可能的组合，其中两种为通常的同步组合 $\Delta ^{f}f_{1}\left( x\right) +\Delta ^{f}f_{2}\left( x\right)$ 与 $\Delta ^{b}f_{1}\left( x\right) +\Delta ^{b}f_{2}\left( x\right)$，另两种为异步组合 $\Delta ^{f}f_{1}\left( x\right) +\Delta ^{b}f_{2}\left( x\right)$ 和 $\Delta ^{b}f_{1}\left( x\right) +\Delta ^{f}f_{2}\left( x\right)$，其中 $\Delta ^{f}$ 与 $\Delta ^{b}$ 分别指前向差分与后向差分。因此，该函数 $f\left( x\right)$ 的一阶变分方程 $\Delta f\left( x\right) =0$ 至多给出四个不同的解，其中包含真解与伪解。我们发展了一种离散变分法，通过对二阶变分的比较甄别出真解，其中绝对值最大者指示真解，从而在不要求粒子数为无穷大的前提下给出玻尔兹曼、玻色与费米系统的精确分布形式。当系统中仅有一个粒子时，所有分布均退化为玻尔兹曼分布。