通过微分方程研究离散动力系统

在本文中,我们考虑由定义在 $\mathbb{R}^n$ 的开子集 $U$ 上的微分同胚 $F$ 生成的动力系统,并给出 $F$ 上的一些条件,这些条件蕴含其动力学可通过研究一个关联的微分方程 $\dot x=X(x)$(同样定义在 $U$ 上)的流来理解。特别地,考虑了 $F$ 具有 $n-1$ 个函数无关的首积分的情形。在此情形下,通过强制要求 $X$ 与 $F$ 共享同一组首积分,且函数方程 $\mu(F(x))=\det((DF(x))\mu(x)$(对 $x\in U$)有非零解来构造 $X$。给出了若干 $n=2,3$ 的示例,其中多数源于若干著名的差分方程。