DNLS-AL 链中的 q-对称性与量子二聚体的精确解

研究了离散非线性薛定谔链（DNLS）和 Ablowitz-Ladik 链（AL）的量子化模型的哈密顿量的动力学对称性。结果表明，对于 $n$ 个格点，DNLS 哈密顿算符的动力学代数由 $su(n)$ 代数给出，而 AL 情形的相应对称性是量子代数 $su_q(n)$。AL 模型中动力学对称性的 q-形变是由于每个格点上的升算符和降算符具有非正则的类振子结构。对于 DNLS 和 QAL 情形，分别以 $su(n)$ 和 $su_q(n)$ 代数生成元的 Casimir 中心元素的形式找到了运动不变量。利用对称代数的表示论，我们专门研究 $n=2$ 的量子二聚体情形，并将每个二聚体的本征值问题表述为非线性（q）-自旋模型。对由此产生的三项非线性递推关系进行了解析研究，并确定了相应的正交完备本征向量基。通过研究能级随非线性强度的渐近吸引和排斥，分析了经典自陷在 QDNLS-二聚体中的量子表现及其在 QAL-二聚体中的缺失。我们的处理预测，对于 QDNLS-二聚体，在非线性参数接近经典分岔点的值处，本征能量差的对数变化率表现出类似相变的行为。