与$Q$-多项式距离正则图的分裂分解相关的一些矩阵

考虑一个具有顶点集$X$和直径$D \geq 3$的$Q$-多项式距离正则图$\Gamma$。对于$\mu, \nu \in \lbrace \downarrow, \uparrow \rbrace$，我们定义标准模$V=\C X$的一个直和分解，称为$(\mu,\nu)$--分裂分解。对于此分解，我们计算相关联的本原幂等元的复共轭和转置。现固定$b,\beta \in \mathbb C$使得$b \neq 1$，并假设$\Gamma$具有经典参数$(D,b,\alpha,\beta)$且$\alpha = b-1$。在此假设下，Ito 和 Terwilliger 展示了$q$-四面体代数$\boxtimes_q$在$\Gamma$的标准模上的作用。为了描述这一作用，他们在$\hbox{Mat}_X(\mathbb C)$中定义了八个矩阵，记为\begin{eqnarray*} \label{eq:list} A,\quad A^*,\quad B,\quad B^*, \quad K,\quad K^*,\quad \Phi,\quad \Psi. \end{eqnarray*}对于上述列表中的每个矩阵，我们计算其转置和复共轭。利用这些信息，我们计算了$\boxtimes_q$在$V$上每个生成元的转置和复共轭。