$\mathbb{C}^{2}$ 自同构中的穿孔抛物柱面

我们证明了 $\mathbb{C}^{2}$ 的自同构 $F$ 的存在性，其具有一个非回归的 Fatou 分量 $\Omega$，该分量双全纯于 $\mathbb{C}\times\mathbb{C}^{*}$，并且是到一个不变整曲线的吸引 basin，在该曲线上 $F$ 作用为无理旋转。我们进一步证明，可以选择双全纯映射 $\Omega\to\mathbb{C}\times\mathbb{C}^{*}$ 使得它将 $F$ 共轭于平移 $(z,w)\mapsto(z+1,w)$，从而使 $\Omega$ 成为最近由 L.~Boc Thaler、F.~Bracci 和 H.~Peters 定义的抛物柱面。$F$ 与 $\Omega$ 通过对 $\mathbb{C}^{2}$ 的一个自同构的不动点进行 blow-up 得到，该自同构具有同双全纯类型且被吸引到该不动点的 Fatou 分量，这一结论由 F.~Bracci、J.~Raissy 和 B.~Stens{\o}nes 建立。关键一步是应用一个合适李代数的密度性质，以证明他们工作中的自同构可被选择为固定一条坐标轴。我们随后可以从 blow-up 中移除该轴的严格变换，得到一个双全纯于 $\mathbb{C}^{2}$ 的 $F$-稳定子集。从而我们可以将 $F$ 解释为 $\mathbb{C}^{2}$ 的一个自同构。