全纯迭代中抛物型二分法的一个反例

我们给出一个单位球 $\mathbb B^2\subset \mathbb C^2$ 的抛物型全纯自映射 $f$ 的例子，其典范 Kobayashi 双曲半模型由圆盘 $\mathbb D\subset \mathbb C$ 的一个椭圆自同构给出，该自同构可选为异于恒等映射。因此，与一维情形相反，这提供了单位球全纯自映射的第一个例子，其具有双曲步长为零的点和双曲步长非零的点，解决了一个公开问题，并表明球 $\mathbb B^2$ 中的抛物型动力学与圆盘中的抛物型动力学有根本不同。该例子通过几何方法获得，将单位球 $\mathbb B^2$ 嵌入为双圆盘 $\mathbb D\times \mathbb{H}$ 中的区域 $\Omega$，该区域对映射 $(z,w)\mapsto (e^{i\theta}z,w+1)$ 是前不变且吸收的，其中 $\mathbb H\subset \mathbb C$ 表示右半平面。我们还表明，若满足一个额外的定量几何条件，具有此类性质的完备 Kobayashi 双曲域 $\Omega$ 不可能关于 Kobayashi 距离是 Gromov 双曲的（因此不可能双全纯等价于 $\mathbb B^2$）。