近全纯斋藤-黑川提升的拉回公式

我们给出近全纯斋藤-黑川（Saito-Kurokawa）提升限制到上半平面乘积与椭圆模形式乘积上的显式拉回公式。我们将Ichino的公式推广到更高阶的模形式，并解除对权重的限制。该显式公式为非 tempered 情形下的$({\rm SO}_5,{\rm SO}_4)$精化Gan-Gross-Prasad猜想提供了非平凡例子。作为一个应用，我们得到了${\rm GL}_3 \times {\rm GL}_2$某些自守$L$-函数临界值的Deligne猜想。我们也期望未来将拉回公式应用于构造${\rm GL}_3 \times {\rm GL}_2$的双变量$p$-adic $L$-函数。