低基座次数下 Gorenstein 区间猜想的证明

大约十年前，提出了如下“Gorenstein 区间猜想”（GIC）：每当 $(1,h_1,\dots,h_i,\dots,h_{e-i},\dots,h_{e-1},1)$ 与 $(1,h_1,\dots,h_i+\alpha,\dots,h_{e-i}+\alpha,\dots,h_{e-1},1)$ 对某个 $\alpha \geq 2$ 均为 Gorenstein Hilbert 函数时，则对所有 $\beta =1,2,\dots,\alpha -1$，$(1,h_1,\dots,h_i+\beta,\dots,h_{e-i}+\beta,\dots,h_{e-1},1)$ 也是 Gorenstein。由于对哪些 Hilbert 函数是 Gorenstein 的显式刻画被广泛认为无望，GIC 若成立，至少能为交换代数中此类基本函数提供强而非常自然的结构性性质的存在性。此前，GIC 进展甚微。本注记的主要目标是证明任意余维数下的 $e\le 5$ 情形。我们的论证部分具构造性，并组合了交换代数与经典代数几何的若干不同工具。