Gorenstein Hilbert 函数的界与渐近最小增长

我们确定了 Gorenstein Hilbert 函数条目的新界，包括任意固定余维数情形以及渐近情形。我们的第一个主要定理给出了 Gorenstein $h$-向量在次数 $i+1$ 处的条目关于其在次数 $i$ 处条目的下界。这一结果在单峰性方面具有有趣的应用：确实，一个重要推论是，给定 $r$ 和 $i$，所有余维数为 $r$ 且 socle 次数 $e\geq e_0=e_0(r,i)$（该函数已明确计算）的 Gorenstein $h$-向量在直至次数 $i+1$ 的范围内都是单峰的。这立即给出了 Stanley 一个定理的新证明，即余维数为三的所有 Gorenstein $h$-向量均为单峰。我们的第二个主要定理给出了 Gorenstein $h$-向量第 $i$ 个条目可能取到的最小值的渐近公式，该公式表示为余维数 $r$ 和 socle 次数 $e$ 的函数。该定理广泛推广了我们最近的一项结果，其中我们证明了 Stanley 的一个猜想，即预测了特定情况 $e=4$ 和 $i=2$ 下的该渐近值，同时也推广了 Kleinschmidt 关于次数 $i= \lfloor \frac{e}{2} \rfloor$ 时对数渐近行为的结果。