射影超流 II. $O(3)$ 与正二十面体群

设 $X\in\mathbb{R}^{n}$。对于 $\phi:\mathbb{R}^{n}\mapsto\mathbb{R}^{n}$ 和 $t\in\mathbb{R}$，我们令 $\phi^{t}=t^{-1}\phi(Xt)$。射影流是射影平移方程 $\phi^{t+s}=\phi^{t}\circ\phi^{s}$，$t,s\in\mathbb{R}$ 的解。射影超流是具有有理向量场的射影流，在具有给定对称性的射影流中，它在某种意义上是唯一且最优的。在第二部分中，我们对 $3$ 维实超流进行了分类。除了在本研究第一部分中描述的超流 $\phi_{\hat{\mathbb{T}}}$（其对称群为正四面体的所有对称性）和超流 $\phi_{\mathbb{O}}$（其对称群为正八面体的保向对称性）之外，我们在此详细研究了超流 $\phi_{\mathbb{I}}$，其对称群为阶数为 $60$ 的正二十面体群 $\mathbb{I}$。该超流是同心球面上的流，且也是螺线管流。这三个超流构成了 $3$ 维不可约实射影超流的完整列表（至多相差线性共轭）。我们还找到了所有可约的 $3$ 维实射影超流。共有两个：一个的对称群为 $3$-棱柱的所有对称性（阶数为 $12$ 的群），另一个的对称群为 $4$-反棱柱的所有对称性（阶数为 $16$ 的群）。