投影平移方程的代数与阿贝尔解

设 $\mathbf{x}=(x,y)$。投影二维流是二维投影平移方程 (PrTE) $(1-z)\phi(\mathbf{x})=\phi(\phi(\mathbf{x}z)(1-z)/z)$, $\phi:\mathbb{C}^{2}\mapsto\mathbb{C}^{2}$ 的解。先前我们已找到所有作为有理函数的 PrTE 解。该有理流产生一个向量场 $\varpi(x,y)\bullet\varrho(x,y)$，它是一对 2-齐次有理函数。另一方面，作为向量场，只有非常特殊的 2-齐次有理函数对才能产生有理流。分类定理证明中的主要组成部分是针对一对 2-齐次有理函数的归约算法。该归约方法实际上允许导出更多结果。即，在本工作中，我们找到了所有具有有理向量场且其轨道为代数曲线的投影流。我们称这些流为阿贝尔投影流，因为这些流要么由阿贝尔函数参数化，并且借助 1-齐次双有理平面变换 (1-BIR) 可将这些流的轨道变换为代数曲线 $x^{A}(x-y)^{B}y^{C}\equiv\mathrm{const.}$（第一类阿贝尔流），要么存在一个 1-BIR 将轨道变换为直线 $y\equiv\mathrm{const.}$（第二类阿贝尔流），并且通常后一种流用非算术函数描述。我们的第二个结果分类了所有由两个变量代数函数给出的阿贝尔流。我们称这些流为代数投影流，它们是第一类阿贝尔流。我们还提供了代数、阿贝尔和非阿贝尔流的许多例子。