一般域上辛群中对合的乘积(I)

设 $s$ 为任意特征非 $2$ 的域上的 $n$ 维辛形式，其中 $n>2$。群 $\mathrm{Sp}(s)/\{\pm \mathrm{id}\}$ 的单性以及 $\mathrm{Sp}(s)$ 中非零对合的存在性推出 $\mathrm{Sp}(s)$ 的每个元素都是对合的乘积。借助一种全新的方法，扩展并改进 Awa、de La Cruz、Ellers 和 Villa 的近期结果，我们证明：若底域是无限的，则当 $n$ 为 $4$ 的倍数时，$\mathrm{Sp}(s)$ 的每个元素都是四个对合的乘积；否则为五个对合的乘积。该结果的第一部分对所有 $4$ 的倍数及所有域被证明是最优的，并且对三元素域及 $n=4$ 的情形被证明不成立。第二部分结果是否最优仍是一个开放问题。有限域将在后续文章中处理。