关于有限正交群的对合与指标

我们研究群 $\mathrm{SO}^{\pm}(n,q)$ 和 $\Omega^{\pm}(n,q)$ 中对合的数量及其与 Frobenius-Schur 指标的关系。本研究的视角源于两个动机。第一个动机是这样一个猜想：有限单群 $G$ 是强实的（所有元素都通过一个对合共轭到其逆元）当且仅当它是完全正交的（所有 Frobenius-Schur 指标均为 1），我们证明了除 $\mathrm{Sp}(2n,q)$（$q$ 为偶数）和 $\Omega^{\pm}(4m,q)$（$q$ 为偶数）之外的所有有限单群 $G$ 都满足这一性质。我们通过计算将这些群的特征标次数之和与对合数相等，从而在计算上证明了对于较小的 $n$ 和 $m$，该陈述对这些群确实成立。我们还证明了关于群 $\mathrm{SO}^{\pm}(4m+2,q)$（$q$ 为奇数）的某个扭曲指标的结果。第二个动机是继续 Fulman、Guralnick 和 Stanton 关于经典群中对合的生成函数与渐近行为的工作。我们通过找到 $\mathrm{SO}^{\pm}(n,q)$ 和 $\Omega^{\pm}(n,q)$ 中对合数量的生成函数（对所有 $q$ 适用）来扩展他们的工作，并利用这些生成函数计算当 $q$ 固定、$n$ 增长时这些群中对合数量的渐近行为。