关于辛对合的几何

设 $V$ 为域 $F$ 上的 $2n$ 维向量空间，$\Omega$ 为 $V$ 上非退化辛形式。记 ${\mathfrak H}_{k}(\Omega)$ 为所有满足限制 $\Omega|_{U}$ 非退化的 $2k$ 维子空间 $U\subset V$ 之集。我们的主要结果（定理 1）表明：若 $n\ne 2k$ 且 $\max(k,n-k)\ge 5$，则 ${\mathfrak H}_{k}(\Omega)$ 上任意保持基子集类的双射变换都由 $V$ 的半辛自同构所诱导。当 $n\ne 2k$ 不成立时此结论失效，但我们有该结果的一个弱版本（定理 2）。若 $F$ 的特征不为 2，则 ${\mathfrak H}_{k}(\Omega)$ 的元素与辛 $(2k,2n-2k)$-对合之间存在一一对应，且定理 1 可表述为：当 $n\ne 2k$ 且 $\max(k,n-k)\ge 5$ 时，辛 $(2k,2n-2k)$-对合之集上任意保持交换性的双射变换都可扩充为辛群的自同构。