关于 $A_k$ 奇点的辛几何

本文给出了 $\mathbb R^2$ 上 $A_k$ Hamilton 量在解析与光滑范畴内的完整辛分类。确切地说，考虑由 Hamilton 量 $H$ 与 $\mathbb R^2$ 上的辛结构 $\omega$ 构成的配对 $(H, \omega)$，使得 $H$ 在原点具有 $A_{k-1}$ 奇点且 $k\geq 2$。我们在原点附近对这种配对进行分类，分别模去纤维wise 辛同胚与保 $H$ 辛同胚。该分类通过将配对 $(H, \omega)$ 化为辛正规形 $$\big(H = \xi^2 \pm x^k, \ \omega = d (f d \xi)\big), \quad f = \sum_{i=1}^{k-1} x^i f_i(x^k),$$ 并模去显式给出的若干关系而得到。我们还证明了：对于奇数 $k$，$A_{k-1}$ 奇点的保 $H$ 辛同胚群由可嵌入到 $C^\infty$ 光滑（相应地，实解析）保 $H$ 流中的辛同胚组成；而对于偶数 $k\ge 4$，除去由对合 $Inv(x,\xi) = (-x,-\xi)$ 生成的 $\mathbb Z_2$ 子群外，同样成立。文末简要讨论了 $A_{k-1}$ 奇点的辛不变量由谱决定的猜想。