二项式系数的乘积与未约化 Farey 分数

本文研究了帕斯卡三角形第 $n$ 行中二项式系数的乘积 $\bar{G}_n$，该乘积等于所有阶数为 $n$ 的约化与未约化 Farey 分数乘积的倒数。文章研究了其作为实数的大小（通过其对数 $log(\bar{G}_n)$ 衡量）及其素因子分解（通过被固定素数 $p$ 整除的阶衡量），并将二者均视为 $n$ 的函数。文章推导出了其素数幂整除性 $ord_p(\bar{G}_n)$ 的三个公式，其中两个将其与 $n$ 的 $p$ 进制展开联系起来，并展示了其行为的不同侧面。利用这些公式确定了每个 $ord_p(\bar{G}_n)$ 的最大增长率以及这些函数波动的结构。文章还定义了将所有素数底替换为任意整数底 $b$ 的类似函数。最后一个主题将 $\bar{G}_n$ 的因子分解与 Chebyshev 型素数计数估计及素数定理联系起来。