长虚拟 Knot 幺半群中的素分解与非交换性

众所周知，长虚拟 knot 的幺半群是不可交换的。这与经典长 knot 的情形形成对比，后者对所有$A,B$均满足$A \# B \leftrightharpoons B \# A$。在本文中，我们提出了一个新的证明，表明两个不等价的非经典素长虚拟 knot 永不可交换。该原始结果由 Manturov 得出。此处使用的技术主要是几何性的。首先，建立了 Kuperberg 定理的一个稍加增强的版本。随后，我们证明了当两个长 knot 均为非经典时，它们在增厚曲面上的良定义连接在稳定化下保持不变。最后，证明了若$A,B,C,D$为素非经典长虚拟 knot，且$A \# B$为非经典并满足$A \# B \leftrightharpoons C \# D$，则$A \leftrightharpoons C$且$B \leftrightharpoons D$。