沃瑟斯坦梯度流的原始对偶方法
数值分析
2021-02-09 v2 数值分析
摘要
将最优传输的经典理论与现代算子分裂技术相结合，我们为出现在多孔介质、材料科学和生物群聚模型中的非线性、非局部偏微分方程开发了一种新的数值方法。我们的方法如下进行：首先，我们在时间上离散，或通过经典的JKO格式，或通过我们引入的一种新颖的Crank-Nicolson型方法。接着，我们利用Benamou-Brenier对沃瑟斯坦距离的动力学刻画，将离散时间方程的解的计算化简为求解具有严格凸目标函数和线性约束的全离散最小化问题。第三，我们应用最近引入的、针对三算符可证明收敛的原始对偶分裂格式[Yan 2018]来计算极小元。通过利用偏微分方程潜在的变分结构，我们的方法克服了先前基于显式时间离散的数值工作所存在的稳定性问题，后者因方程的强非线性和退化性而受限。我们的方法自然保持正性与质量守恒，且在JKO格式下能量递减。我们证明当空间离散加密时，全离散问题的极小元收敛到空间连续、离散时间问题的极小元。我们以一维和二维中非线性偏微分方程与沃瑟斯坦测地线的模拟作结，阐明了我们方法的关键性质，包括与经典JKO方法相比我们新颖的Crank-Nicolson型方法的更高阶收敛。
引用
@article{arxiv.1901.08081,
title = {Primal dual methods for Wasserstein gradient flows},
author = {Jose A. Carrillo and Katy Craig and Li Wang and Chaozhen Wei},
journal= {arXiv preprint arXiv:1901.08081},
year = {2021}
}