一种用于晶体表面演化的近端梯度算法

作为近期晶体表面演化数值方法的对照——这些方法与微观动力学吻合良好，但存在显著刚性，无法在精细空间网格上模拟——我们基于宏观偏微分方程开发了一种新数值方法，利用其作为总变分能量相对于加权 $H^{-1}$ 范数的梯度流的形式结构。该梯度流结构与近期备受关注的若干度量空间梯度流相关，包括 2-Wasserstein 流及其向非线性迁移率的推广。我们受经典极小化运动格式（在 2-Wasserstein 情形下称为 JKO 格式）启发，开发了该梯度流的一种新颖半隐式时间离散。随后，我们使用原始对偶混合梯度（PDHG）方法计算半隐式格式的每一步。在一维情形下，我们在迁移率及其倒数的一般可积性假设下，证明了 PDHG 方法收敛到半隐式格式。最后，通过对 PDHG 方法取有限差分近似，我们得到一种完全离散的数值算法，其迭代收敛速率与空间离散无关：特别地，收敛性质不会随空间网格细化而恶化。我们以若干数值算例收尾，展示了本方法的性质，包括局部极大值处的刻面形成、局部极小值处的钉扎，以及随空间与时间离散细化时的收敛性。