树型箭图的预投射代数

设 $Q$ 为一个树型箭图，$\mathbf{k} Q$ 为其路径代数，$\lambda$ 为域 $\mathbf{k}$ 中的一个非零元素。我们在 $\mathbf{k} Q$ 的有界导出范畴的跨射影分支的 Auslander-Reiten 箭图中构造了满足我们称之为 $\lambda$-关系的不可约态射。当 $\lambda=1$ 时，这些关系被称为网格关系。当 $\lambda=-1$ 时，它们被称为交换性关系。利用这一技术以及 Baer-Geigle-Lenzing、Crawley-Boevey、Ringel 等人给出的结果，我们证明对于任何树型箭图，其预投射代数的几种描述是等价的。