路径代数的极小内射分解与 Auslander-Gorenstein 性质

设 $R$ 为一个环，$\mathcal{Q}$ 为一个有限无环箭图。我们给出了由左 $R$-模表示的 $\mathcal{Q}$ 的范畴 $\rm{Rep} (\mathcal{Q} ,R)$ 中内射包与投射预覆盖的显式公式。我们还将公式推广到 $R\mathcal{Q}$ 的极小内射分解的所有项。利用这些描述，我们研究了路径代数的 Auslander-Gorenstein 性质。特别地，我们证明路径代数 $R\mathcal{Q}$ 是 $k$-Gorenstein 的当且仅当 $\mathcal{Q}=\overrightarrow{A_{n}}$ 且 $R$ 是一个 $k$-Gorenstein 环，其中 $n$ 是 $\mathcal{Q}$ 的顶点数。