三维阿波罗尼奥斯图的谓词

在本论文中，我们研究构建三维阿波罗尼奥斯图（也称为三维加性加权 Voronoi 图）所需的基本谓词之一，即 EDGECONFLICT 谓词：给定在三维阿波罗尼奥斯图中定义边 $e_{ijklm}$ 的五个站点 $S_i, S_j,S_k,S_l,S_m$，以及第六个查询站点 $S_q$，该谓词确定由于插入 $S_q$ 而在六个站点的阿波罗尼奥斯图中消失的 $e_{ijklm}$ 的部分。我们的重点是对该谓词进行算法分析，以最小化其代数次数。我们将主谓词分解为子谓词，然后借助额外的基元操作对子谓词进行求值。我们表明，在非退化构型中，当三切面（trisector）的 Hausdorff 维数为 1 时，回答任何子谓词和基元操作所需的最大代数次数，因而也是我们的主谓词的最大代数次数，为 10。我们还证明，对于这些三切面类型，在退化输入下，所开发的所有子谓词均可使用 10 次或 8 次代数操作的求值来完成，具体取决于它们是否需要求值一个中间的 INSPHERE 谓词。我们使用的工具包括三维反演变换和所谓的定性符号扰动方案。我们的大部分分析在反演空间中进行，我们的几何观察和分析正是在该空间中以代数形式表述。