$G$ 与 $S_n$ 的圈积中的幂

本文中，对任意有限群 $G$，我们计算圈积 $G\wr S_n$ 中的幂。对素数 $r\geq 2$，考虑由 $g \mapsto g^r$ 定义的 $\omega_r: G\wr S_n\to G\wr S_n$。令 $P_{r}(G\wr S_n)=\frac{|\omega_r(G\wr S_n)|}{|G|^n n!}$，为在 $G\wr S_n$ 中随机选取的元素是 $r$ 次幂的概率。我们证明，若 $G$ 的阶与 $r$ 互素，则对所有 $n\not \equiv -1(\text{mod } r)$ 有 $P_r(G\wr S_{n+1})=P_r(G\wr S_n)$。我们还给出了 $G\wr S_n$ 中作为 $r$ 次幂的共轭类个数的公式。