幂型 $\xi$-渐近一致光滑与 $\xi$-渐近一致平坦范数

对于每个序数 $\xi$ 和每个 $1<p<\infty$，我们给出了允许等价 $\xi$-$p$-渐近一致光滑范数的空间与算子的自然同构刻画。我们还引入了 $\xi$-渐近一致平坦范数的概念，并提供了允许等价 $\xi$-渐近一致平坦范数的空间与算子的同构刻画。给定紧 Hausdorff 空间 $K$，我们根据 $K$ 的 Cantor-Bendixson 指标证明了关于 $C(K)$ 的 $\xi$-渐近光滑性的最优重赋范定理。我们还证明了对于所有序数，我们所研究的同构性质和等距性质均从 Banach 空间传递至其注入张量积。我们研究了 $\xi$-$p$-渐近一致光滑、$\xi$-$p$-渐近一致可光滑化、$\xi$-渐近一致平坦以及 $\xi$-渐近一致可平坦化算子类。我们证明，当赋予适当的理想范数时，这些类要么是 Banach 理想，要么是右 Banach 理想。