Banach 空间上范数的逼近

相对较近期已证明:若 $\Gamma$ 为任意集合,则 $c_0(\Gamma)$ 上的任意等价范数均可被多面体范数与 $C^\infty$ 光滑范数在 bounded sets 上以任意精度一致逼近。我们将此结果推广到更多具有不可数对称基的空间类,例如“离散”Lorentz 空间 $d(w,1,\Gamma)$ 的预对偶,以及某些对称 Nakano 空间与 Orlicz 空间。我们还证明:给定任意序数 $\alpha$,存在一个散紧空间 $K$,其 Cantor-Bendixson 高度至少为 $\alpha$,使得 $C(K)$ 上的任意等价范数均可如上逼近。