生物进化适应度驱动模型中的幂律尾

我们研究一个离散时间随机过程，它也可被解释为病毒进化模型。我们过程的一个显著特征是源于类似偏好依附模型动力学的幂律尾。在我们所研究的模型中，种群被划分到若干位点，每个位点由区间 $[0,1]$ 内唯一赋予的实数（称为适应度）标记。种群规模是一个离散时间瞬态生灭过程，出生概率为 $p$、死亡概率为 $1-p$。适应度在出生时按如下规则分配：新个体以概率 $r$ “突变”，在 $[0,1]$ 上均匀创建一个新位点，或以概率 $1-r$ “继承”，按与位点大小成比例的概率加入已有位点。每次死亡事件中，适应度最低位点的一名成员被杀死。位点数量趋于无穷当且仅当 $pr>1-p$。在此假设下，我们证明当时间趋于无穷时，位点大小与适应度的联合经验测度（给定范围内大小与适应度位点中种群比例）几乎必然收敛到修正 Yule 分布与 $[(1-p)/(pr),1]$ 上均匀分布的乘积。我们的方法基于文献 \cite{similar-but-different} 中发展的方法。该模型与结果由 Roy 和 Tanemura 在 [RT] 中独立获得。