后临界集与亚纯二形式保持的不存在性

我们提出了 $CP_2$ 中依赖于两个或三个参数的一族双有理变换，该变换在一般情况下不保持亚纯二形式。通过引入临界集（Jacobian 的消失条件）的轨道，也称为“后临界集”，我们得到了一些新的结构，一些“非解析”的二形式，在参数空间的特定子簇上退化为亚纯二形式。在这些子簇上，临界集的迭代在参数次数上具有多项式增长，而在这些子空间之外则呈指数增长。我们首先使用 Diller-Favre 准则对 $CP_2$ 中的双有理变换进行分析，以找到映射的复杂度约化。找到了可积情形。复杂度增长与拓扑熵之间的等同性再次得到验证。我们对后临界集进行了绘图，并对许多轨道进行了 Lyapunov 指数计算，证实了该映射在一般情况下不能保持任何亚纯二形式。这些 $CP_2$ 中的双有理变换，通常不保持任何亚纯二形式，与我们之前研究的保持亚纯二形式的其他双有理变换极为相似。我们注意到，这两组双有理变换在拓扑复杂度方面表现出完全相似的结果，但在动力系统的更“概率性”方法（Lyapunov 指数）方面却表现出截然不同的结果。通过这些例子，我们看到保持亚纯二形式的存在解释了动力系统的拓扑方法与概率方法之间的大部分（数值）差异。