向量丛的正性与 Hodge 理论

众所周知，向量丛曲率的正性性质对该丛的代数几何性质有影响，例如数值正性、导致全局截面存在的高阶上同调的消没等。同样众所周知的是，Hodge 理论中出现的丛往往具有正性性质。从这些考虑出发，产生了几个问题：(i) 一般而言，对于半正但不严格为正的丛，哪些进一步的自然条件会导致其对称幂截面的存在？(ii) 在 Hodge 理论中，Hodge 度量通常具有奇异性；关于这些度量及其曲率、Chern 形式等能说些什么？(iii) Hodge 丛正性的一些代数几何应用是什么？这些部分带有阐述性质的笔记有四个目的。一是总结文献中出现的一些一般性的正性度量与类型。二是引入范数正性并给出其一些应用。这是一个蕴含许多标准示例中出现的度量半正性不同概念的概念，并且在这些示例中具有代数几何解释。第三个目的是讨论并比较代数几何和 Hodge 理论中出现的几种度量奇异性类型。最后，我们将介绍来自经典文献和近期文献中该理论的一些应用。