光滑有界域上参数传输问题解的多项式界

我们考虑域 $U_0 \subset \mathbb{R}^m$ 上的一族 $(P_\omega)_{\omega \in \Omega}$ 二阶椭圆微分算子,其系数依赖于空间变量 $x \in U_0$ 与 $\omega \in \Omega$(一个概率空间)。我们允许 $P_\omega$ 的系数 $a_{ij}$ 在固定界面 $\Gamma \subset U_0$(与 $\omega \in \Omega$ 无关)上有跳跃。我们得到了关于系数范数的多项式估计,针对具有传输与混合边界条件(我们也考虑“变号”问题)的方程 $P_\omega u_\omega = f$ 的解 $u_\omega$ 的范数。特别地,我们证明若 $f$ 与系数 $a_{ij}$ 足够光滑且服从对数正态型分布,则映射 $\Omega \ni \omega \to \|u_\omega\|_{H^{k+1}(U_0)}$ 属于 $L^p(\Omega)$,对所有 $1 \le p < \infty$。所得算子的逆的范数同样如此。我们期望我们的估计在不确定性量化中有用。