特征阶多项式自同构及其不变环

设$k$为特征$p>0$的域。我们讨论多项式环$k[x_1,\ldots ,x_n]$的$p$阶自同构，或等价地仿射空间${\bf A}_k^n$上的${\bf Z}/p{\bf Z}$-作用。当$n=2$时，此类自同构已知为固定一个变量的自同构的共轭。当$n\ge 3$时是否仍成立为一开放问题。本文中，(1) 我们给出该问题在$n=3$时的首个反例。事实上，我们证明${\bf A}_k^3$上每个秩三的${\bf G}_a$-作用都给出$n=3$的反例。我们通过构造一族${\bf A}_k^3$上秩三的${\bf G}_a$-作用给出反例族。(2) 对于此族${\bf G}_a$-作用诱导的自同构，在某些温和假设下，我们证明不变环同构于$k[x_1,x_2,x_3]$当且仅当plinth理想为主理想。(3) 我们研究$R[x_1,x_2]$上的Nagata型自同构，其中$R$为特征$p>0$的UFD。此类自同构阶为$p$。我们给出不变环同构于$R[x_1,x_2]$的充要条件。该条件等价于plinth理想为主理想的条件。