通过体空间共形几何实现形式场的 Poincaré-Einstein 全息对偶

我们研究了具有共形无穷远边界数据的 Einstein 流形上的高阶形式 Proca 方程。通过构造一个将任意形式投影到解的算子，我们在形式上且至所有阶数求解了这些 Laplace 型边界问题。我们还发展了一个用于求解此类渐近问题的通用乘积公式。我们方法的核心工具是：(i) 微分形式的共形几何及其相关的外延 tractor 演算；(ii) 一种广义尺度概念，它编码了底层几何与其边界之间的联系。后者通过将共形不变方程与广义尺度相关的 scale tractor 耦合，以非常严格的方式控制共形不变性的破缺。由此，我们获得了一个从现有解到新解的映射，该映射交换了 Dirichlet 和 Neumann 边界条件。综上所述，scale tractor 和外延结构将文献 [31] 中的解生成代数扩展为 (tractor) 微分形式上的共形不变 Poincaré-Einstein 演算。该演算导出了加权微分形式、微分复形以及文献 [9] 中 Q-算子上所有高阶共形算子的显式全息公式。这补充了 Aubry 和 Guillarmou [3] 的结果，其中相关的共形调和空间参数化了光滑解。