ADI 隐式浅水方程模型的 POD/DEIM 非线性模型降阶

在本文中，我们考虑了 $\beta$-平面上矩形域内的二维浅水方程 (SWE) 模型，该模型采用交替方向全隐式 (ADI) 有限差分格式求解。该格式已被证明对线性化方程是无条件稳定的。离散化产生了多个非线性代数方程组。随后，我们使用 Proper Orthogonal Decomposition (POD) 来降低 SWE 模型的维度。由于模型的非线性，降阶模型的计算复杂度仍然取决于完整浅水方程模型的变量数量。通过采用离散经验插值方法 (DEIM)，我们降低了因依赖于非线性全维模型而产生的降阶模型计算复杂度，从而恢复了 POD 模型预期的完整模型降阶效果。为了强调使用 POD/DEIM 带来的 CPU 性能增益，我们还提出测试显式 Euler 有限差分格式 (EE) 作为求解浅水方程模型时 ADI 隐式格式的替代方案。接着，我们评估了 POD/DEIM 作为空间离散点数、时间步长和 POD 基函数数量的函数的效率。正如预期，数值实验表明 POD/DEIM 格式的 CPU 时间性能与网格点数成正比。一旦空间离散点数超过 10000 且 DEIM 插值点为 90 个时，与相应的 POD SWE 格式相比，POD/DEIM 隐式 SWE 格式的 CPU 时间减少了 10 倍，而 POD/DEIM 显式 SWE 格式减少了 15 倍。数值测试表明，如果 DEIM 算法选择的点数达到 50 个，POD/DEIM 和 POD 降阶系统产生的近似误差具有相同的数量级。