非线性二维浅水方程 POD 降阶策略的比较

本文在真模态分解 (POD) 框架中引入了张量微积分技术，以降低降阶非线性项的计算复杂度。所得方法名为张量 POD，可应用于任意次数 $p$ 的多项式非线性项。此类非线性项的在线复杂度为 $\mathcal{O}(k^{p+1})$，其中 $k$ 是 POD 基的维数，因此与全空间维数无关。然而，该方法仅对二次非线性项有效，因为对于更高阶非线性，一旦增加 POD 基维数 $k$，标准 POD 证明更省时。我们通过二维浅水方程 (SWE) 测试问题进行了数值实验，以比较张量 POD、标准 POD 以及 POD/离散经验插值法 (DEIM) 的性能。数值结果表明，对于使用超过 $300,000$ 个模型变量的配置，张量 POD 将标准 POD 在线阶段的计算成本降低了 $76\times$ 倍。张量 POD SWE 模型仅比 POD/DEIM SWE 模型慢 $2-8\times$ 倍，但实现工作量显著增加。再次采用张量微积分构建了一种新算法，使 POD/DEIM 浅水方程模型能够比标准和张量 POD 方法更快地计算其离线阶段。