扩展 Lugiato-Lefever 方程中的钉扎现象

我们考虑 Lugiato-Lefever 方程（LLE）的一个变体，即一维环面上的带强迫与阻尼的非线性 Schr\"odinger 方程，并加上一项带势 $\epsilon V(x)$ 的一阶导数项。该势打破了 LLE 的平移不变性。依据有效势 $V_\text{eff}$（$V$ 的适当加权与积分版本）零点是否存在，我们证明 $\epsilon=0$ 时的驻波解可局部延拓到 $\epsilon\not =0$ 的范围。此外，$\epsilon$-延拓解的极值点位于 $V_\text{eff}$ 的零点附近。因此我们称此现象为驻波解的\emph{钉扎}。若进一步假设 $\epsilon=0$ 时的起始驻波解谱稳定，且因平移不变性导致的简单零特征值是以虚轴上唯一的特征值，则可根据 $V_\text{eff}$ 零点处 $V_\text{eff}'$ 的符号与 $\epsilon$ 的符号，证明其 $\epsilon$-延拓的渐近稳定性或不稳定性。该 LLE 变体出现在 Kerr 非线性环形微谐振腔中光频梳的描述里，该微谐振腔由两种不同频率与不同功率的连续单色光源泵浦。我们的分析结论由数值模拟加以说明。