具有由双光子吸收引起的非线性阻尼的Lugiato-Lefever方程

本文研究了非线性阻尼对环面或实直线上的 Lugiato-Lefever 方程 $$\i \partial_t a = -(\i-\zeta) a - da_{xx} -(1+\i\kappa)|a|^2a +\i f$$ 的影响。对于环面情形，我们证明了对于小的非线性阻尼 $\kappa>0$，存在从常数解分叉出的分支上的平稳空间周期解，而当阻尼参数 $\kappa$ 超过临界值时所有非常数解消失。这些结果对正常色散（$d<0$）与反常色散（$d>0$）均适用。对于实直线情形，我们利用隐函数定理证明：对于小的非线性阻尼 $\kappa>0$、大失谐 $\zeta\gg 1$ 及大强迫 $f\gg 1$，在反常色散 $d>0$ 情形下存在强局域的亮孤子平稳解。这些结果通过分叉与延拓理论中的技术以及证明含时 Lugiato-Lefever 方程解的收敛性而得到。