等价代数与稳定同伦论中的Picard群

传统上，G-等价稳定同伦论中的同伦群被划分为$\text{RO}(G)$，即G的实表示环。对动力学结构而言，基于等价稳定同伦范畴Picard群的grading更为自然。尽管存在群同态$\text{RO}(G) \rightarrow \text{Pic}(\text{Ho}(\text{Sp}^G))$将两者关联，但该映射在一般情况下既非单射也非满射。Fausk、Lewis和May给出了$\text{Pic}(\text{Ho}(\text{Sp}^G))$的代数表达式，其形式为Burnside环$A(G)$的Picard群。本工作暗示着$\text{Pic}(A(G))$与$\text{Pic}(\text{Mack}_G)$之间存在一种习惯性同构。我们证明了这种习惯性同构在有限群的情形下成立，然后利用我们的分析，证明了在有限阿贝尔群情形下，可逆Mackey函子的分类。作为结果，我们为G为有限阿贝尔群的情形下，给出了可逆$A(G)$-模的分类。