π 公式：粗糙数海滩上的一些光滑石子

本文讨论的是π公式，即求和为π的倍数的无穷分数级数。每一个这样的公式都可以与一组唯一的粗糙数集合 $S_k$ 相关联，其中 $k$ 是一个素数。给定任意素数 $k$ 的 $S_k$，可以轻易构造出 $S_{k^{\prime}}$，其中 $k^{\prime}$ 是大于 $k$ 的最小素数。由此可知，π公式出现在不相交的族中。在任何一个族中，都有一个首项，即最小素数 $k_{min}$ 的级数，必须从头开始求和。然后，利用某个已求和的 $k > k_{min}$ 的级数，可以通过简单的代数过程对 $k^{\prime}$ 的级数进行求和。本文展示了大量属于不同族并给出被认为全新结果的π公式。