关于不同部分分拆中第 $k$ 小部分的研究

Uchimura 的一个经典定理指出，将 $n$ 分拆为奇数个不同部分的最小部分之和与分拆为偶数个不同部分的相应和之差等于 $n$ 的除数个数。在本文中，我们启动了对于任意整数 $n$ 的不同部分分拆 $\pi$ 的第 $k$ 小部分（即 $s_k(\pi)$）的研究。利用 $s_k(\pi)$，我们将上述结果推广到任意正整数 $k$ 的分拆的第 $k$ 小部分，并展示了其与一般 $k$ 的除数函数的联系，推导出了有趣的特例。我们还研究了涉及 $s_k(\pi)$ 和另一个参数 $z$ 的加权分拆，这帮助我们获得了若干新的组合和分析结果。最后，我们证明了涉及 $s_k(\pi)$ 的加权分拆函数的尾部和恒等式。