Aldous-Shields 生长树模型中的相变

我们在 Aldous 和 Shields 引入的生长树模型中，系统地研究了树模型中粒子数的晚期时间统计。该模型中，一个簇从根部开始，在连续时间内通过吸收新的粒子到空的周边位置来增长，其速率与 c^{-l} 成正比，其中 c 是正参数，l 是周边位置到根部的距离。对于 c=1，该模型对应于随机二叉搜索树，对于 c=2 对应于计算机科学中的数字搜索树。通过引入逆向 Fokker-Planck 方法，我们计算了在大时间尺度下粒子数的均值和方差，并显示方差在临界值 c=sqrt{2} 处发生"相变"。当 c>sqrt{2} 时，方差与均值成正比且分布为正态分布；当 c<sqrt{2} 时，方差异常放大且分布为非高斯分布，由于极端波动的出现。该模型推广到生长发生在具有 m 个分支的树上的情况，在这种更一般的情况下，我们显示临界点发生在 c=sqrt{m}。