Cayley 树上的停车问题与冻结的 Erdős-Rényi 随机图

考虑一个具有 $n$ 个顶点的均匀有根 Cayley 树 $T_{n}$，并令 $m$ 辆车依次、独立且均匀地到达其顶点。每辆车试图在其到达节点停车，若该位置已被占据，则向树根方向行驶并尽快停车。Lackner 与 Panholzer (arXiv:1504.04972) 在 $m \approx \frac{n}{2}$ 时确立了该过程的相变。在本工作中，我们将该模型与经典 Erdős-Rényi 随机图过程的一个变体耦合。这使我们能够使用一种经修改的乘法凝聚过程（我们称之为冻结乘法凝聚过程）来描述已停车车辆连通分量大小的相变。我们还研究了临界停车簇的几何结构。这些树与 Bienaymé-Galton-Watson 树非常不同，并且应当收敛到已在与随机平面地图研究中出现的 $3/2$-稳定过程正则关联的增生-碎裂树。