完全停泊树的计数

我们计数一类完全停泊树。在概率语境下，这意味着计算停车过程的配分函数 $F(x,y)$，其中在具有几何 offspring 分布的 Galton-Watson 树的每个顶点上独立同分布地到达若干辆汽车，且条件为最终没有顶点未被占据。变量 $x$ 和 $y$ 分别计数树中的顶点数和从根节点驶出的汽车数。对于任意汽车到达分布 $\mathbf b$，我们得到 $F(x,y)$ 关于 $\mathbf b$ 的概率生成函数 $B(y)$ 的显式参数表达式。我们表明该模型存在一个普适相，其中 $F(x,y)$ 的奇异性态本质上与 $B(y)$ 无关，以及一个非普适相，其中它敏感地依赖于 $B(y)$ 的奇异性态。非普适相进一步分为两种情况，我们称之为稀疏与稠密。我们给出相图的简单代数描述，并在对 $\mathbf b$ 的温和附加假设下，对普适相和稀疏相中的 $F(x,y)$ 进行详细的奇异性分析。该奇异性分析使用了经典的转移定理及其在二元渐近性上的推广。在此过程中，我们发展了一种用于定位解析函数逆的主导奇点的变分方法，这具有独立的意义。本文定义的相与 arxiv:1912.06012 及相关工作中描述的宏观径流转变中的相密切相关但并不相同。