超临界 Galton-Watson 树上的停车问题

在超临界 Galton-Watson 树的每个位点放置一个可容纳一辆车的停车位。初始时，每个顶点独立同分布地到达若干辆车。车辆以离散时间向根节点行进，并停在它们遇到的第一个空位上。令 $X$ 为到达根节点的车辆总数。Goldschmidt 与 Przykucki 证明了随着每个顶点到达车辆的平均数增加，$X$ 几乎必然地从有限经历相变到无限。我们证明了在临界阈值处 $EX$ 有限，描述了其在临界之上的增长率，并证明当初始车辆到达分布变得不那么集中时它递增。对于在 $d$-叉树上每个顶点到达 0 或 2 辆车的经典情形，我们给出了临界阈值的改进界限，并证明 $P(X = 0)$ 不连续。