Galton--Watson 树上的停车相变

我们建立了临界 Galton--Watson 树上停车过程的相变。在该模型中，均值为 $m$、方差为 $\sigma^{2}$ 的随机数量汽车独立地到达一棵有限方差 $\Sigma^{2}$ 的临界 Galton--Watson 树上，该树被条件化为规模很大。汽车沿树向下朝根移动，并尽可能早地试图停在空顶点上。我们展示了依赖于 $$\Theta:= (1-m)^2- \Sigma^2 (\sigma^2+m^2-m).$$ 的相变。具体而言，当 $m \leq 1$ 时，若 $\Theta>0,$ 则除（可能）少数汽车外都将成功停车，而若 $\Theta<0$，则正比例的汽车将找不到位置并通过根离开树。这证实了 Goldschmidt 和 Przykucki 的一个猜想。