在随机有根二叉树上的停车

本文研究了具有 $n$ 个顶点的均匀随机有根二叉树上的停车过程。将每个顶点视为一个停车位，随机数量的汽车独立地逐个到达各顶点并尝试停车。若一辆汽车试图停在已被占用的顶点上，它将沿着树上通向根的唯一路径行驶，在遇到的第一个空顶点处停车。若无法做到这一点，汽车将从根处驶出树。我们将研究当到达 $\lfloor \alpha n \rfloor$ 辆汽车时，所有汽车都能停车这一事件的概率极限，其中 $\alpha > 0$。我们发现存在一个相变点 $\alpha_c = 2 - \sqrt{2}$：当 $\alpha < \alpha_c$ 时，该事件具有正的极限概率；而当 $\alpha > \alpha_c$ 时，概率随 $n \rightarrow \infty$ 趋于 0。这类似于 Goldschmidt 和 Przykucki（arXiv:1610.08786）以及 Goldschmidt 和 Chen（arXiv:1911.03816）的工作，同时也与 Curien 和 H\'enard（arXiv:2205.15932）证明的一般结果一致。